전자의 스핀과 슈테른-게를라흐 실험 해석

 

 

 

평범한 직장인이 양자역학에 입문할 때 가장 어려웠던 점은 '기초 지식의 부재'였다.

일반적인 상식으로는 가늠하기 어려운 양자역학 이론들을 이해하기 위해

고전역학적 원리부터 차근차근 학습해야 하기 때문이다.

 

큐비트를 간략하게나마 이해하기 위해 최소 20가지가 넘는 배경지식이 필요했다.

(상대성이론, 고전 원자모형, 전자와 자기장, 전류, 스핀 외 양자역학 탄생 배경에 대한 역사 등)

 

물론 각각의 배경지식도 깊게 이해하기 위해서는 더 많은 시간과 노력이 필요하겠으나

이렇게 공부하다가는 끝이 없을 것 같아 학습진도에 필요한 이론 위주로 먼저 진행할까 한다.

 

이후에도 모든 블로그 포스팅은 [A] 주제를 이해하기 위한 [A1, A2, A3... B1, B2...] 의
배경지식을 순차적으로 타고올라가는 형태가 될 것이다.

 

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 1. 학습교재

: Quantum Computing for Everyone, 2020

: 크리스 베른하트 지음, 이정문 옮김 (에이콘 출판사)

 

2. 사전지식

: 데이비슨-저머 이중슬릿 실험 [링크]

: 제이만 효과  [링크]

: 보어-조머펠트 이론 [링크] 

: 파울리의 배타원리 

하나의 양자상태에 두 개의 동일한 페르미온은 존재할 수 없다
(=) 두 전자는 같은 양자수를 가질 수 없다
(=) 전자는 양자수를 기준으로 한 궤도에 쌍으로 존재하거나, 하나만 존재한다

 

3. 스핀 : 핵심 이해내용

• 초기 스핀 이론은 전자의 움직임을 고전역학적으로 설명하기 위해 도입되었다.
• 초기 스핀 이론은 원자 주위를 도는 전자의 궤도 각운동량을 계산하는 방법을 고민하였다.
  
  
• ℏ ≈ L = r(회전반지름)  x  m(질량)  x  v(속도) =  ∫V(r x v) dm
  → 전자를 질량을 가진 자전체로 볼 경우, 상대성이론에 위배되어 고전역학이 아닌 양자적 관점에서 해석이 필요하다.
  
  
• 질량, 전하량, 스핀은 전자가 가진 '고유값' 으로, 스핀은 실제로 전자의 회전을 의미하지는 않는다.
• 스핀의 발견으로 인해 전자를 하나의 자석으로 인식할 수 있게 되었다.

 

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4. 슈테른 - 게를라흐 스핀 실험

 

스핀 측정 장치 (Stern Gerlach experiment)

 

 

원자의 스핀을 측정한 실험으로, 자기장에 의한 위상변화를 주기 위해

최외곽 궤도에 1개의 전자가 위치하여 자성을 가지는 은(Silver) 원자가 사용되었다.

 

실험 장치에서 N극과 S극이 각각 V자로 돌출, 파여있는 구조이므로
N극이 더욱 강하게 작용하는 지점이 존재한다.

보어 모형에 따라 은 원자를 자성을 띤 하나의 자석으로 취급할 수 있으므로

은 원자의 상단이 N극이라면, 입자는 아래 방향으로 휘어지며, 반대의 경우 위로 굴절될 것이다.

 

은 원자의 N-S축 방향

 

 

고전 물리학의 관점에서 원자의 자석 방향이 치우친 정도가 조금씩 다르므로 휘어짐의 정도도 차이가 있다. 

그래서 일반적으로 스크린에는 연속적인 선 형태의 패턴이 나타나는 것을 기대하였을 것이다.

 

그러나, 실험 결과 상단과 하단 - 총 2개의 점 패턴만 나타났고 중간지점에는 은 원자가 도달하지 않았다.

이는 은 원자가 N극과 S극이 완벽하게 수직방향으로 정렬된 자석임을 의미한다.

 

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5. 동일한 방향으로 이중 측정

첫번째 실험장치를 통과해 상단으로 휘어진 원자들을

동일한 수직방향 장치에 한 번 더 통과시키면

마찬가지로 모든 패턴이 스크린의 상단에 나타난다. (위상변화 없음)

 

 

6. 다른 방향으로 이중 측정 (두 번째 실험장치를 90˚, 270˚ 로 틀어서 측정)

첫번째 수직방향 실험장치를 통과한 원자들을 수평방향으로 한 번 더 통과시킬 경우

5번과는 다르게 은 원자 패턴은 좌, 우 방향으로 나뉘어 스크린에 나타난다.

 

(=) 측정은 결과에 영향을 미친다. 전자의 위치는 무작위성을 가진다.

 

각기 다른 축의 측정장치를 통과시켰을 때 은 원자의 패턴

 

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7. 스핀과 파동함수, 관측에 대한 상관관계

• 양자역학에서 모든 입자는 확률은 가진 파동함수로 표현 가능하다.
• 두 입자를 서로 바꾸었을 때 물리적 상태가 같다면, 두 입자는 교환 대칭성을 가진다. 
  (참고 : 페르미-디랙 통계)

 

• ψ0 은 교환대칭성을 가진 두 입자에 대한 파동함수이다. 이 때 관측행위는  |ψ| 의 제곱으로 표현할 수 있다.
  (=) 두 입자가 물리적으로 같다는 것은 두 입자의 파동함수 제곱의 값이 같다는 것이다.
  
  
• ψ1 은 두 입자 중, 하나가 음의 값을 가지는 파동함수를 나타내며, 마찬가지로 |ψ|의 제곱이 대칭성을 가진다.
  (=) 교환되는 두 입자의 파동함수는 ψ0, ψ1 두 가지 방법으로 표현 가능하다.
  
  
• ψ1 에서, 좌측 음의 값을 가지는 영역은 -1/2ℏ,
  우측 양의 값을 가지는 영역은 1/2ℏ의 전자 스핀 상태를 나타낸다. 
  
  
• ψ1를  [x=0] 축을 기준으로 합쳤을 때 좌우 파장은 서로 상쇄되어 소멸한다.
  (=) 파울리의 배타원리 유도 공식과 같은 내용임을 알 수 있다.

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8. 학습 결론

• 양자역학에서 전자의 측정,  양자컴퓨터 분야에서의 큐비트는 모두 스핀으로 표현할 수 있다.
• 스핀은 양자화된 값을 가지며, 측정 시 1 또는 0의 값을 얻는다. (=) 고전적인 비트로 환산이 가능하다.
• 스핀의 측정과 방향, 큐비트는 선형대수를 통해 수식으로 표현할 수 있다. 
  향후 Linear Algebra 카테고리를 통해 벡터와 행렬을 이용한 스핀의 표현과 유도방법을 다룰 예정이다. 
• 파동함수와 디랙 방정식 관련 자세한 원리 학습이 필요하다.