스핀과 큐비트의 선형대수적 유도 과정 (1)

 

 

큐비트는 전자의 스핀으로 표현할 수 있다. 

스핀에 대한 기본 이해는 지난 시간에 다루었던 포스팅으로 대체한다.

 

[링크 : 전자의 스핀과 슈테른-게를라흐 실험 해석] 

 

단순 개념정리의 성격 보다는, 

선형대수가 어떻게 양자컴퓨팅에 적용되는지 기본 개념을 이해하는 것이 목표이다.

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이번 챕터는 아래 내용을 전제로 진행된다.

■ 양자역학은 선형대수학을 기반으로 한다. 

■ 유한 차원 벡터 공간을 바탕으로, 해석 및 유도공식에 폴 디랙 표기법을 사용한다.

■  3차원 공간에서의 스핀은 복소수를 사용, 여기서는 빠른 이해를 위해 실수부만 사용한다.
    (복소수 및 파동함수, 쇼어 알고리즘 등에 대한 심화내용은 현 단계에서는 이해가 불가하다)

 

 

1. 벡터 (Vector)

• 벡터의 차원은 목록 내 숫자의 개수를 의미한다.
• 가로 형태의 목록은 행벡터-브라(bra) 로 지칭한다.
• 세로 형태의 목록은 열벡터-켓(ket) 이라 지칭한다.

 

아래 두 벡터는 각각 3차원 브라와 2차원 켓이라 부를 수 있다.

 

<v | = $\begin{bmatrix}a & b & c\end{bmatrix}$ : 행벡터(bra),  | w> = $\begin{bmatrix}a \\b \end{bmatrix}$ : 열벡터(ket)

 

 

 

2. 벡터의 성질

 

| a> = $\begin{bmatrix}3 \\1 \end{bmatrix}$ 에서

첫 번째 성분 3은 시작점에서 끝점까지의 x좌표 변화량,

두 번째 성분 1은 시작점에서 끝 점까지 y좌표의 변화량을 의미한다.

 

시작점이 (a, b)이면 끝점의 좌표는 (a+3, b+1)이 되며,

아래 그림은 서로 다른 시작점의 '동일한' 켓 벡터를 나타낸다.

 

동일한 3개의 켓 벡터

 

이 때 벡터의 길이는 '각 성분의 제곱의 합'의 제곱근이다. 

bra  <a | = $\begin{bmatrix}3 & 1 \end{bmatrix})$의 길이 |<a || = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{10}$ 

 

이 때 길이가 1인 벡터를 단위벡터 (unit vector) 라고 하며, 

큐비트는 단위벡터로 표현할 수 있다. (중요)

 

단위벡터는 벡터 길이의 역수를 해당 벡터에 곱하여 얻을 수 있다.

ket  | a> = $\begin{bmatrix}2 \\1 \end{bmatrix}$ 일 때,  ||a>| = $\sqrt{5}$ 이므로

단위벡터 | u> = $\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}2 \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}} \\\frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix}$ 이며, | u> 와 | a> 는 같은 방향을 향하는 벡터이다. 

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3. 벡터와 브라켓의 직교

피타고라스 정리에 의해 $||a>|^{2}+||b>|^{2}=||a+b>|^{2}$ 일 때 두 벡터는 서로 직교한다.

 

벡터 u = v + w 일 때, 피타고라스 정리 적용 가능

 

브라-켓의 직교에 대한 성질 역시 아래와 같이 유도 가능하다.

 

| a> = $\begin{bmatrix}a_{1} \\a_{2} \end{bmatrix}$,  | b> = $\begin{bmatrix}b_{1} \\b_{2} \end{bmatrix}$ 일 때

| a> + | b>  =   $\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} \\b_{2}+b_{2} \end{bmatrix}$ 이며,

 

$||a>+|b>|^{2}$ = $\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} & a_{2}+b_{2}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1} \\b_{2}+b_{2} \end{bmatrix}$ = $||a>|^{2}+||b>|^{2}+2<a|b>$

 

이 때 $2<a|b>$ 가 0이어야만 두 벡터가 직교함을 알 수 있다. 

 

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4. 정규직교 기저

정규직교(Orthonormal)는 직교(Orthogonal)와 정규화(Normalize)의 합성어로,

정규화는 길이를 1로 변환한다는 뜻이다. 

 

기저는 무엇인가? 

기저란, 차원 평면상의 모든 벡터를 만들어 낼 수 있는 최소한의 벡터 집합을 의미한다.

 

2차원 평면상의 단위벡터 = 기저 V와 W

 

n차원의 켓의 정규직교 기저는  '서로 직교하는 n개의 단위켓'으로 구성된다.

위의 사진에서와 같이  단위켓 V와 W는 각각 $\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$과 $\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$로 표현할 수 있다. 

 

이 때 위 평면상의 모든 벡터는 V와 W의 합, 곱으로 나타낼 수 있으므로, V와 W는 $|R^{2}$의 '정규직교기저' 이다.

정규직교 조건을 만족하는 벡터는 무수히 많지만 그 중에서도 위의 V와 W는 표준기저라고 부른다.

 

정규직교 기저를 통해 벡터를 선형조합 형태로 표현하는 것을 우리는 '관측'한다고 정의할 수 있다.

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5. 스핀의 표현

이전 글에서 다루었던 슈테른-게를라흐 실험에서,

우리는 입자의 스핀을 측정하는 내용을 다루었다.

이 때 스핀의 측정 방향을 정규직교 기저로 표현할 수 있다.

 

| ↑> = $\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$,  | ↓> = $\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$,  | →> = $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{-1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$, | ←> = $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

 

전자의 초기 스핀상태는 $c_{1} | ↑> + c_{2} | ↓>$ 로 표현할 수 있는데

이 때 $c_{1}$ 와 $c_{2}$를 확률진폭이라 하며,  N을 얻을 확률은 $(c_{1})^2$, S를 얻을 확률은 $(c_{2})^2$ 이고

이에 따라 $(c_{1})^2 + (c_{2})^2 = 1$ 임을 알 수 있다.

 

표준기저를 &alpha; 각도만큼 틀었을 때, 벡터 표현

 

 

+ (| ↑>) =  a | b1> + b | b2> 일 때, 스핀이 N일 확률은 $a^{2}$, 스핀이 S일 확률은 $b^{2}$ 이다.
- (| ↑>) = - a | b1> - b | b2> 일 때, 스핀이 N일 확률은 $(-a)^{2}$, 스핀이 S일 확률은 $(-b)^{2}$ 이다.

 

두 경우 확률이 같으므로, + | ↑> 상태 벡터를 갖는 전자와  - | ↑> 상태 벡터를 갖는 전자를 구별할 수 없어

이 둘은 동치관계라고 하며, 스핀의 방향만 다를 뿐 같은 운동량을 갖는다고 적용할 수 있다.

 

표준 기저가 90도만큼 회전했다면 $\begin{bmatrix}cos90^{\circ} \\-sin90^{\circ} \end{bmatrix},\begin{bmatrix}sin90^{\circ} \\cos90^{\circ} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}0 \\-1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$ 이고,

 

이것은 최초의 순서 정규직교 기저 $\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}0 \\1 \end{bmatrix}$와 순서만 변경된 것이다.

 

($\begin{bmatrix}0  \\1  \end{bmatrix}$과 $\begin{bmatrix}0  \\-1  \end{bmatrix}$은 서로 동치이기 때문)

 

따라서 기저벡터는 90도 회전마다 같은 스핀값을 나타내며 N극과 S극의 방향만 바뀌게 된다.

 

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6. 결론

측정장치의 회전 각도는 180도 바뀔 때 마다 동치상태가 발생하므로,

측정장치의 회전 각도를 $\theta$, 기저벡터의 회전각도를 $\alpha$ 라고 하였을 때

$\theta = 2\alpha$ 로 정의할 수 있다. 

 

처음 수직방향으로 세팅된 측정장치를 90도 만큼 회전시켜 수평방향으로 측정할 때

 

이 장치의 기저는 $\begin{bmatrix}cos45^{\circ} \\-sin45^{\circ} \end{bmatrix},\begin{bmatrix}sin45^{\circ} \\cos45^{\circ} \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix},\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$와 같다.

 

새로운 기저에 대한 상대 좌표를 얻기 위해, 표준 기저 좌측에 bra로 이루어진 행렬을 곱하면

 

$\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ 으로 나타낼 수 있으므로, 

 

장치를 90도 방향으로 틀어 측정할 때 N을 얻을 확률은 $(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}$ = 50%, S를 얻을 확률은 $(-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}$ = 50% 이다.